TRIGONOMETRIA NA ALTITUDE DAS NUVENS

 

 

As nuvens é uma das mais comuns causadoras de turbulência e outros tipos de acidentes em aeronaves, pois quando estão baixas demais, a visibilidade é afetada , assim tornando perigoso para as aeronaves estabelecerem voo. A base das nuvens é o ponto mais baixo em que uma nuvem permanece visível, contudo para garantir os voos seguros, os meteorologistas estimam essa base, para identificar a altura, contudo as classificam de acordo com a tabela:

 

Agora veremos como estimar a altitude das nuvens utilizando uma das técnicas trigonométricas.

Ex: Sendo que o ângulo do ponto A é 4º e a distância do ponto A ao ponto B é 80km como mostra a figura, calcule altura da nuvem. (Dados: sen 4º≅0,077; cos 4º≅0,998 e tan 4º≅0,070 ):

  

Podemos perceber que não há informação sobre a hipotenusa (distância do radar ao topo da nuvem) no triângulo retângulo. Desta forma descartamos a aplicação das razões trigonométricas Seno e Cosseno.

Considerando x, o cateto oposto (altura da nuvem em relação ao solo) ao ângulo de 4º e sabendo que 80 km corresponde a distância do ponto A ao B (radar a base da nuvem), podemos aplicar a razão Tangente para essa situação, assim:

 

De acordo com ao exemplo dado, a altura da nuvem é de 5,6km, então sua classificação em relação a tabela, cogita-se em Nuvens Média (entre 2-7 km).

 

A UTILIZAÇÃO DOS COMPUTADORES NAS AULAS DE TRIGONOMETRIA

A trigonometria tem diversas utilidades desde a medicina e astronomia até a música. No entanto, nas escolas, são poucos os alunos que se interessam em estudá-la. Uma das formas de chamar a atenção dos estudantes para esse assunto é a utilização de computadores nas salas de aula.

Essa técnica foi desenvolvida com o intuito de despertar o interesse e de aproximar os alunos a esse ramo da matemática através de algo que eles gostassem como, por exemplo, computadores. Nisso se pensou na criação de programas de softwares para que os discentes sentissem interesse por tal conteúdo.

Um exemplo que contornou o desinteresse pela trigonometria foi a criação do Cabri Géomètre que é um software de construção em geometria e foi desenvolvido pelo Institut d’Informatique et de Mathematiques Appliquees em Grenoble (IMAG), sendo resultado da colaboração de cientistas da informática, 
especialistas em educação  e professores.Este software oferece régua e compasso eletrônico e seus menus utilizam linguagens próprias da geometria. Outra característica muito importante é a possibilidade de se produzir animações.

A figura abaixo mostra a tela do Software Cabri Géomètre e as principais funções disponíveis em seu menu.

Os alunos podem usar os recursos oferecidos no programa para fazer desenhos onde o objetivo é o domínio dos mesmos em alguns conceitos da construção. Os estudantes podem receber desenhos prontos, feitos pelo professor, para descobrir invariantes através da experimentação sobre desenho e movimento, ou seja, os desenhos prontos propõem a obtenção de valores que não são dados, mas que podem ser encontrados após descobrir a semelhança de figuras e, consequentemente, a proporção entre ambas.

Ainda com os desenhos, é possível descobrir a medida de lados e ângulos de triângulos e razões trigonométricas (seno, cosseno e tangente). Mesmo com ajuda destes recursos para auxiliar a aprendizagem dos alunos, é necessário, por parte do professor, a aplicação de atividades que comprovem o desempenho do educando em relação à trigonometria.

 

REFERÊNCIAS

http://penta.ufrgs.br/edu/telelab/mundo_mat/malice2/cabri2.htm

BRITO,Adriano F. Trigonometria no triângulo retângulo:um ensino significativo para o 9º ano fundamental.  Monografia (Curso de Especialização em Ensino de Matemática). Universidade Estadual Vale do Acaraú, Sobral, 2009. 43p.

Autores importantes para história da trigonometria

    Trigonometria em uma tradução literal significa medidas de um triangulo, ou mais especificamente é o estudo das relações envolvendo ângulos e razões dos lados de triângulos semelhantes. Suas primeiras aplicações foram na astronomia.

Autores importantes

   Tales de Mileto: (624-546 A.C), Nasceu na cidade de Mileto e morreu na mesma cidade. Os gregos dos tempos posteriores consideravam Tales como fundador da ciência, da matemática e da filosofia grega.

    Um dos fatos históricos de Tales foi quando ele se encontrava no Egito e foi-lhe pedido por um mensageiro de Faraó, em nome do soberano, que calculasse a medida da pirâmide de Quéops. Assim fez Tales, pegou uma vara e colocou na vertical e esperou o comprimento da sombra ser igual ao da própria vara, e disse para o mensageiro “Vá depressa e mede a sombra logo o comprimento da sombra é o mesmo comprimento da pirâmide"

    A pirâmide de Quéops é considerada uma das sete maravilhas do mundo antigo, ela tem 146 m de altura. Sua base é um quadrado cujos lados medem cerca 230 m.

    Erastóstenes: (276-194A.C)  Ele estimulou um dos mais importantes calculo para a circunferência e raio da terra. Ele comparou posições relativas de sombras exatamente, ao meio dia do solstício de verão em duas cidades: Siene e Alexandria. Assim, obteve que ângulo α que era cerca de 1/50 do circulo.

    Sabendo que a distância entre as duas cidades era cerca de 925 km, estimulou que o perímetro da terra seria cerca de 925 x 50= 46.250 km, sendo que o valor correto é de 40.075 km.  

   Hiparco de Nicéia: (180-125 A.C), Foi um astrônomo, construtor, cartógrafo e matemática grego da escola de Alexandria nascido 180 a.c em Nicéia, viveu em Alexandria, sendo um dos grandes representantes da escola Alexandria do ponto de vista da contribuição para a mecânica. Hoje é considerado fundador da astronomia cientifica e também chamado de pai da trigonometria, por ter sido o pioneiro na elaboração de uma tabela trigonométrica.

    Cláudio Ptolomeu: (150 d.c)  considerado o autor da mais importante obra da trigonometria, surgida no século II de nossa era, em Alexandria, composta de treze volumes. Ela ficou conhecida como Almagesto, que significa em árabe “a maior = al magest”.

    Hiparco foi uma figura importante e pode-se afirmar que seus trabalhos contribuíram para a transição entre a astronomia babilônica e as idéias do grande Cláudio Ptolomeu.

Interdisciplinaridade: Trigonometria aplicada a Óptica Geométrica

A óptica é o ramo da Física que estuda os fenômenos luminosos, bem com suas propriedades. Os fenômenos estudados em óptica geométrica podem ser descritos com a simples noção de raio de luz e alguns conhecimentos de geometria; O mesmo pode ser aplicado na Leis de Refração e Reflexão de raios luminosos em diferentes tipos de superfícies, envolvendo nas leis acima alguns métodos relacionados a Trigonometria.

Figura 1. Exemplo Refração da Luz

Figura 2. Exemplo Reflexão da Luz

O objetivo deste trabalho, é mostrar através dos conceitos da óptica geométrica, aplicações trigonométricas como (seno, ângulos...), nos fenômenos da natureza, como também em certos objetos, em que os mesmo tramitem, ou recebem Luz.

·     Refração da Luz:

Fenômeno que depende exclusivamente de propriedades intrínsecos aos meios do comprimento de onda da luz. (Figura 1)

Em sua Lei, conhecida também como Lei de Snell, é expressa pela equação abaixo, em que o raio refratado está no plano de incidência e tem um ângulo de refração ᶿ2 que está relacionado ao ângulo de incidência ᶿ1.

n1 . senᶿ1 = n2 . senᶿ2

A figura mostra um raio de luz monocromática que se propaga no ar formando um ângulo de 30° com a superfície. Quando o raio passa a incidir no outro meio o ângulo de refração observado é de 60°. Calculando o índice e a velocidade da Luz, temos:

Aplicando – se na fórmula citada na Lei, para calcular o índice de refração, temos:

A velocidade da luz refratada é calculada através da definição de índice de refração:

·Reflexão da Luz:

É definida como um fenômeno, na qual evidencia a mudança da direção do feixe de luz, ao deparar com uma superfície que delimita dois meios distintos, sem que o feixe mude de meio. Podemos citar como exemplo: no espelho ocorre o processo da reflexão especular, pois haverá um feixe unidirecional refletido.

Figura 3. Espelho Plano  

O raio refletido está no plano de incidência e tem um ângulo, de reflexão igual ao ângulo de incidência, no entanto a lei, é expressa pela equação:

ᶿ1 = ᶿ2

As aplicações de Reflexão da luz, são encontradas em fenômenos da natureza, como também em objetos (espelhos planos, esféricos, côncavos...), na qual não entraremos em detalhes, pois são assuntos bem amplos, mas que em todos itens citados acima, é utilizado a mesma fórmula da Lei.

Para exemplificação, do determinado assunto, consideremos como exemplo, um “espelho plano” (figura3), considerado um dos elementos óptico mais simples, para desenvolver um modelo geométrico.

Observe a figura:

Nessa figura, dois espelhos planos estão dispostos de modo a formar um ângulo de 30° entre eles. Um raio luminoso incide sobre um dos espelhos, formando um ângulo de 70° com a sua superfície.

Esse raio, depois de se refletir nos dois espelhos, cruza o raio incidente formando um ângulo α de:

Encontrando alguns ângulos necessários, temos:

10 + 10 + 20 + 20 + α = 180°

60 + α = 180°

 α= 180 – 60

α= 120°

• Comentários:

O veredicto trabalho foi desenvolvido através de sínteses e exemplos, mostrando um estudo sobre Óptica Geométrica, sendo um assunto relacionado a disciplina Física, mas que no desenvolvimento do mesmo, vimos que foram usados métodos envolvendo Trigonometria.

• Referência:

• ·       STEINBRUCH, Alfredo, WINTERLE, Paulo Introdução à Álgebra Linear, São Paulo: Makrom Book, 1990
• ·       THOMAS, George B. Cálculo, VOL I, São Paulo: Addison Wesley, 200
• ·       http://www.tutorbrasil.com.br/forum/fisica-ii/optica-geometrica-e-trigonometria-t32820.html
• ·       http://www.mais.mat.br/wiki/Trigonometria_e_raios_lumino

A Trigonometria e a Aviação

A trigonometria é um ramo de matemática que estuda e utiliza as relações entre triângulos, seus ângulos e lados, para calcular distâncias e alturas inacessíveis, através dos cálculos. A trigonometria é bastante aplicada nas ciências em geral. É usada para construção de pontes, casas, telhados, e vários outros exemplos.

Vejamos algumas das relações trigonométricas (seno, cosseno e tangente):

A matemática, sem dúvidas, destacou-se no desenvolvimento das tecnologias espaciais e aeronáuticas. A trigonometria, por exemplo, é usada na aviação, ou melhor, na decolagem dos aviões. Os aviões formam um ângulo do 30º com a pista na hora da decolagem, possibilitando-se saber a distância percorrida pelo avião e a altura dele, com relação ao solo. 

Vejamos os exemplos:

Exemplo 01: Ao decolar, um avião sobe formando um ângulo de 30º com a pista. Na direção do percurso existe uma torre de transmissão de energia elétrica situada a 3 km do aeroporto e com altura igual a 150 metros. Será que o avião irá colidir com a torre? 

Para fazer essa verificação, é utilizada a relação da tangente:

Conclusão: O avião, não tocará a torre, pois a 3000 metros, ele já terá atingido 1700 metros de altura, e a torre é só de 150 metros.

Exemplo 02: Ao decolar, um avião forma com a pista um ângulo de 30º. Determine a sua altura após ter percorrido a distância de 2000 metros.

Usaremos, neste caso a relação do seno:

Conclusão: A sua altura será de 1000 metros.

A matemática está presente em praticamente todas as coisas do nosso dia a dia. Para concluir, reflita a frase de Amoroso Costa: “Sem a Matemática, não poderia haver Astronomia; sem os recursos maravilhosos da Astronomia, seria completamente impossível a navegação. E a navegação foi o fator máximo do progresso da humanidade.” 

Materiais utilizados na Trigonometria

Na matemática existem conteúdos considerados fáceis, médios, difíceis e extremamente difíceis. Para muitos, a trigonometria é um assunto muito complicado, considerada por alguns um “bicho de sete cabeças”, para tentar facilitar o ensino da trigonometria, foram criadas algumas soluções para tornar as aulas de trigonometria mais práticas e dinâmicas.

Esses tipos de materiais são de grande suporte para os professores, e o intuito desse artigo é ajudar aos futuros professores de Matemática, a desde cedo procurar inovações na hora de lecionar a Trigonometria, para não tornar as aulas chatas, procurar chamar a atenção do aluno para o ensino da matemática, que hoje em dia é tão temida e pouco valorizada.

Segue abaixo um exemplo desses materiais usados na Trigonometria:

Teodolito

O Teodolito é um material de medição de ângulos, ele serve como um suporte na topografia, agricultura, entre outros, tem também uma grande importância e serventia na trigonometria, ele é um auxilio na hora de descobrir alturas de locais muito altos, como de torres, caixas d’águas, prédios, e outros.

O teodolito mais usado é o TEODOLITO ARTESANAL, pois além de prático, é fácil de fazer.

Vamos criar um teodolito.

Os materiais necessários são:

Um transferidor de 180º

Um cano, ou, canudo para mirar no ponto de medida

Um prumo( material usado por pedreiros) que é um cordão com um peso em uma de suas pontas.

Como se faz o teodolito

É muito simples, amarre o cano (canudo) no transferidor, logo depois, amarre o prumo  ao transferidor com o cano. A imagem abaixo mostra mais ou menos como se deve fazer:

Como utilizar o teodolito,

Vejamos o exemplo a seguir:

A trigonometria pode ser usada na resolução de problemas do cotidiano, digamos que o professor pede para seu aluno descobrir a altura de uma casa, para descobrir essa altura o teodolito terá uma grande importância, vejamos:

Para usar o teodolito devemos colocá-lo na posição zero grau (0º) e depois girar na posição anti-horária até que se possa observar o topo da casa, então marcamos o ângulo indicado.

Veja a ilustração a seguir:

Usando o conhecimento sobre trigonometria para medir a altura da casa, observamos algumas coisas, veja que temos o ângulo de 40° marcado pelo teodolito, temos o lado adjacente ao ângulo que é 25m, e não temos o lado oposto ao ângulo no caso a altura da casa, logo se percebe que será usada a relação trigonométrica da tangente que é:

Fazendo as substituições temos:

Tg40º=X/25

Usando a calculadora cientifica tg40º≅0,84

Substituindo:

0,84=x/25

X=0,84*25

X=21

Como o teodolito estava numa altura de 80 cm, para obtermos a altura certa da casa, somemos o valor de X com os 80 cm.

Altura da casa=21+0,80

Altura da casa=21,80 metros

A altura da casa é aproximadamente 21,80 metros.

Comentário

Espero com esse artigo espero ter ajudado aos futuros professores, mostrar que podemos sim inovar e oferecer aos nossos alunos aulas mais dinâmicas, mostrar que a matemática não é esse “bicho papão”, e sim que ela tem uma grande importância no nosso dia a dia, e que podemos tirar coisas proveitosas dela (Matemática).

No cérebro do Matemático, uma equação tem a Beleza da Arte.

DEMONSTRAÇÃO DA RELAÇÃO TRIGONOMÉTRICA FUNDAMENTAL

Considere o círculo trigonométrico abaixo de raio unitário:

 Podemos destacar o triângulo retângulo ODC. Aplicando o Teorema de Pitágoras, obtemos:

É ainda podemos ver as seguintes relações 

Fazendo as substituições ma primeira relação teremos o seguinte:

Vejam que esta relação é válida para qualquer ângulo θ.

Mais o que poucos sabem é que essa relação de acordo com a Revista CÁLCULO MATEMÁTICA PARA TODOS, da editora: SEGMENTO é considerado um das mais belas.

A matéria é a seguinte “No cérebro do Matemático, uma Equação tem a beleza da arte”.

Assim como uma obra de arte as formulas matemáticas tem o poder de encantar a mente do ser humano.  

            Primeiro, os pesquisadores pediram a cada membro de um grupo de voluntários que examinasse 60 formulas e que, quando se sentisse pronto, desse uma nota a cada formula, de – 5(horrível) a + 5 (bela). Fazia parte do grupos tanto de leigos quanto a estudantes de matemática e matemáticos. Essa foi a primeira face. Logo que terminou, os pesquisadores preparam um ambiente no qual poderiam fotografar o cérebro de cada voluntários com um escâner por ressonância magnética.

            Duas semanas depois, cada voluntario teve de examinar de novo cada formula, desta vez com o escâner registrando o que acontecia no cérebro. Ao analisar as imagens os cientistas viram que a atividade no cérebro tinha forte correlação com o que os matemáticos classificaram como “a experiência da beleza”.  Quando viam as equações que consideravam bonitas, ativavam a mesma área do cérebro de um sujeito fã da Argentina. Isto que dizer que para nos matemáticos, na matemática tem beleza assim como na arte.

Ou seja Matemática e arte, mas nem todo mundo é artista. 

Fontes: http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/

            Calculo Matemática para todos. 

Antonio Hélio Pereira de Farias