A Trigonometria na construção do Telhado

A Matemática apesar de trabalhar bastante com abstrações, possui diversas aplicações que estão presentes em nosso dia-a-dia. Um dos campos da Matemática a trigonometria, possui aplicação também em diversas áreas. Uma das áreas escolhidas para o esta pesquisa foi à construção civil, presente em nosso cotidiano, como o assunto é amplo, iremos nos deter apenas na construção de telhados, útil para a proteção e cobertura de edificações.

A construção do telhado requer bastante precisão, por ser uma das partes mais importante de uma casa. Para evitar goteiras e até um desabamento da estrutura, são necessários alguns cálculos que envolvem a trigonometria. Quanto menor for o nível de declividade do telhado, o peso das telhas contribuirá ainda mais para que o telhado fique estável. Partindo desta afirmação, já podemos ver que há uma relação entre o nível de declividade e o peso das telhas e claro do comprimento das tesouras, linhas etc., relações nos lembram seno, cosseno e tangente.

O objetivo deste trabalho é mostrar que com a ajuda de cálculos trigonométricos é possível saber o a quantidade de madeira e o custo necessário para um telhado de casas residenciais.

Vejamos como calcular a inclinação de um telhado, lembrando que o ângulo de inclinação deve variar de acordo com o modelo de telha escolhido, a largura e o comprimento da casa iram influenciar bastante na arquitetura das tesouras. O modelo que utilizaremos é para casas de até 18 metros de vão e com largura de 10 a 18 metros.

Dados: H= altura da tesoura, L= largura da casa, a= L/2, α= ângulo de inclinação; faremos também i = inclinação do telhado (em porcentagem).

Altura              Base i                       1 H                     a

 

Fazendo uma regra de três simples:

H.1 = i.a          =>        H = i.a

Agora faremos um esquema para saber o ângulo de inclinação:

tg α = H/a        =>        tg α = ia/a        => tg α = i

α = arc tg (i)

Agora vamos encontrar a fórmula do banzo ou empena (B)

B = a√1 + i²

Agora vamos calcular o comprimento das verticais (v1 e v2) das diagonais (d1 e d2) e da largura das guias. Na figura utilizaremos metade da tesoura por isso no decorrer do calculo multiplicaremos por dois.

Faremos uma série de cálculos simples até encontrar fórmulas para os comprimentos, não detalharemos aqui, pois os cálculos são simples, mas um pouco longos.

Enfim vamos calcular a metragem total (M) da madeira necessária para a construção deste tipo de tesoura. Somaremos a altura com a base, o banzo, as verticais e diagonais encontradas, lembrando que trabalhamos apenas com metade da tesoura, por isso irão multiplicar por dois.

M = H + 2(a + B + v₁ + v₂ + d₁ + d₂)

Lembrando que:

i = inclinação (tangente de α); a = L/2; l = largura da guias; P1 = a/3; tg α = i;

Tudo pronto, agora é basta multiplicar a metragem (M) pelo preço do metro de um guia (R), assim obtemos o custo da madeira de uma tesoura (C).

C = M.R

Cúpulas:

Além dos telhados comuns de residências, há também uma modelagem de telhado em forma de semi-esfera, cuia, semi-esfera achatada, chamada de cúpula, muito usada em edificações religiosas como Basílicas, Catedrais, Mesquitas e em observatórios astronômicos. Este tipo de construção de telhado é bastante complexo e requer um bom conhecimento matemático. No Brasil temos diversas construções com este formato, dentre as mais conhecidas estão a Basílica de Nossa Senhora Aparecida em São Paulo e o novo Museu do Eclipse em Sobral-CE. Não entraremos em detalhes, pois o assunto é bem extenso, mais fica a dica para quem desejar matar a curiosidade, imaginem só quanta matemática envolvida nesta construção.

Comentário:

Podemos perceber que os cálculos são bem práticos. Mas como já foi dito anteriormente este calculo deve variar de acordo com o peso da telha e/ou o tipo de telha, comprimento e largura da residência, tipo de tesoura, etc.. Para construções de galpões, prédios, templos e outros tipos de edificações, o calculo deve variar bastante de acordo com o modelo do edifício. O calculo que fizemos é apenas para uma tesoura, deve ser levado em conta também a espessura da madeira e outros detalhes que não especificamos, pois o nosso objetivo era apenas mostrar que a matemática envolvida neste assunto.

Referencias:

http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/modelagem/Modelagem_Tesouras_Web/modelagem_tesouras.htm; Acessado em 30/05/2014.

http://professorandrios.blogspot.com.br/2011/11/telhas-telhados-e-trigonometria.html; Acessado em 30/05/2014