Radianos × Graus

Uma frase bem comum entre os professores que lecionam trigonometria é a seguinte: "Fazendo π igual a 180, temos...". Parem tudo, por favor! Essa afirmação é tão falsa quanto dizer "Fazendo 1 igual a 1000, temos..."  E o pior: o aluno, a partir desse momento, fica a se perguntar: "Agora uso π igual a 3,14 ou 180?"

Essa questão entre π e 180, se enraizou entre os professores tal qual a musiquinha "multiplicando os meios pelos extremos" (não se multiplica meios pelos extremos, mas sim o produto dos meios é igual ao produto dos extremos). Vamos arrancar esse mal pela raiz agora.

O número π, qualquer que seja o contexto, será sempre o mesmo: a razão entre o comprimento e o diâmetro de uma circunferência, ou mais popularmente arredondado para 3,14. Assim como medimos distâncias em metros, kilômetros, léguas, centímetros e muitas outras unidades de medidas, os ângulos também possuem diferentes unidades de medidas. As mais conhecidas são radianos e graus.

Um ângulo de 1 radiano corresponde ao ângulo central de um arco de circunferência de comprimento igual ao raio R.

Já o ângulo de 1 grau, corresponde a uma das 360 partes de um circulo fatiado em pedaços iguais. Levando em conta que uma semi circunferência tem um ângulo central de 180 graus (metade das 360 fatias), qual a medida correspondente na outra unidade de medida, radianos? Vejamos.

Se C é o comprimento de uma circunferência de raio R, então o comprimento da semi circunferência é C/2. Uma vez que

temos que

Portanto, se para um comprimento 1.R temos um ângulo central de 1 radiano, então para um comprimento π.R temos um comprimento de π radianos. Conclusão:

Assim como 1 Km = 1000m.