Aplicação da Trigonometria em Alcântaras

Voltando a abordar as aplicações da trigonometria, postamos agora um vídeo gentilmente cedido pelos professores Thiago Carvalho, José Freire, Francisco Moreira e Rivaldo Duarte. A produção mostra como calcular a altura da torre da Igreja São Vicente de Paulo no município de Alcântaras, Ceará. O diferencial do método utilizado é que não é necessário medir a distancia entre o observador e a torre, mas apenas realizar duas medidas de ângulo de observação entre o solo e a torre. A partir dessas medidas, encontra-se a altura da torre usando a relação trigonométrica tangente. 

Unidades de Medida dos ângulos

Há alguns dias, falamos que as duas unidades de medidas de ângulo mais "conhecidas" eram o grau e o radiano.

O grau (do latim gradus, que significa percorrer uma distância em trechos) surge com os babilônios cerca de 4000 anos antes de Cristo. Em partes pela base utilizada por eles (base 60 em vez da base 10 utilizada hoje) e também por influência do movimento solar, pois naquela época acreditava-se que num período de 360 dias o sol realizava um movimento completo no zodíaco (as constelações nesse caminho percorrido pelo sol), isto é, um ano tinha 360 dias. Assim, tomaram a circunferência e a dividiram em 360 trechos, ou melhor, 360 graus.

Embora não sabendo bem se eles consideravam a Terra ou o Sol como centro do universo (ou até mesmo se eles estavam preocupados com isso), provavelmente o fato de o Sol percorrer o zodíaco e voltar para o início, dava aos babilônios uma "sensação" de algo cíclico.

No caso da unidade grau, ainda usamos suas subdivisões minuto (partes minutae primae, 1/60 de 1 grau) e segundo (partes minutae secundae, 1/60 de um segundo), também influenciadas pela base 60.

Já o radiano (que um dia já foi conhecido como π-medida), o ângulo determinado pelo arco de comprimento igual ao raio da circunferência, só começou a ser usado como unidade por volta de 1870. Tudo indica que foi "criado" de forma independente pelo matemático Thomas Muir e o físico James T. Thomson, sendo que o termo radiano apareceu pela primeira vez num trabalho de Thomson em 1873.

E as outras? Bem, vamos falar sobre o grado e o ponto.

O grado (do francês, grade) foi proposto junto com o sistema métrico, mas hoje, a unidade de ângulos do SI (Sistema Internacional de Unidades de Medida) é o radiano. A definição de grado está ligada a definição original do metro, de 1889:

"Um metro é o comprimento equivalente a décima milionésima parte de um quarto do meridiano terrestre"

Isto é, se o perímetro de um meridiano (e portanto de todos, uma vez que os meridianos são os círculos máximos da esfera que se cruzam nos pólos) é L, então

A partir daí, podemos definir decímetros, centímetros, decâmetros, hectômetros e quilômetros. E a distância de 100km percorrida sobre um meridiano determina um ângulo central de 1 grado, cuja notação é 1 gon (ou 1 grad ou ainda 1^g). Note que, com esta definição, 1 gon = 0,9°. Existem até transferidores com esta medida. Clique aqui.

A unidade foi usada pelo exército brasileiro no ajuste de mira de canhões. Isso por quê antes da Segunda Guerra Mundial, o exército brasileiro era treinado pelos franceses. Na topografia, até hoje a unidade é usada.

Já o ponto é uma unidade usada na construção de cartas náuticas, que são uma espécie de mapa para auxiliar na navegação marítima. No Tratado de Hidrografia do Padre Francisco da Costa, encontra-se uma descrição de como se construir uma carta náutica, sendo que em dado momento, ele fala de

"marcar uma rosa-dos-ventos central e dividir a periferia desse círculo em 32 partes iguais". 

Lembrando que a rosa dos ventos nos dá quatro direções (Norte, Sul, Leste, Oeste), a descrição do Padre Francisco equivale a inserir mais direções na Rosa-dos-ventos,onde cada nova direção determina um "ponto" na circunferência circunscrita à rosa-dos-ventos, isto é, 

1 ponto = 11,5°

O ponto ainda pode ser subdividido em meio ponto e 1/4 de ponto, como mostra a figura abaixo.

Referências:
http://aulaparticularonlinematematica.blogspot.com/2008/12/notas-histricas-sobre-o-grau-e-o.html
http://pt.wikipedia.org/wiki/Grado_(ângulo)
http://www.forumdaconstrucao.com.br/conteudo.php?a=0&Cod=215
http://www2.uefs.br/geotec/topografia/apostilas/topografia(2).htm
http://www.mar.mil.br/dhn/bhmn/download/cap11.pdf 
MARTINS, A.V. Náutica e cartografia náutica na origem da ciẽncia moderna. Revista Navigator, n° 2, 2005.

Ao passar em Camocim, meça o raio da Terra...

Camocim... Um dos mais belos lugares do Ceará. Quem conhece a Praia do Maceió, se encanta. Mas ali na orla, na avenida principal, você pode parar um pouco antes de ir para o Maceió e fazer umas continhas usando trigonometria. Continhas não, calcular uma aproximação para o raio da "esfera" chamada Planeta Terra.

Existe um farol (devidamente registrado na capitania dos portos bem na beira mar. Subindo lá, levando em conta que estamos sobre uma esfera e usando algumas técnicas básicas de trigonometria, poderemos resolver nosso problema.

A idéia é a seguinte: se conhecermos a altura h do farol e o ângulo α formado entre o farol e a linha imaginária que liga este ponto à linha do horizonte, podemos montar um triângulo retângulo (com o ângulo reto bem no ponto de tangência) como mostra a figura acima. Isso pelo fato de tal linha imaginária (na figura acima, a linha amarela cheia), tangenciar a esfera, isto é, formar um ângulo reto com o raio.

Além disso, se perfurássemos o solo, exatamente embaixo do farol em linha reta, até encontrar o centro da terra, percorreríamos uma distância R.

Conhecendo-se as relações trigonométricas num triângulo retângulo, temos que:

Isolando R teremos

Vale ressaltar que se trata de uma aproximação uma vez que, considerando o planeta uma esfera, teríamos que levar em conta não só a altura da torre do solo, mas a sua altitude em relação ao nível do mar. Os dados fornecidos pela capitania dos portos nos dizem que a altura a ser considerada seria de 35 metros (15m da altura da torre mais os 20m do nível do solo naquele ponto).

A altura do "Arco" de Sobral

A trigonometria tem aplicações das mais simples às mais sofisticadas. Começando pelas mais simples, segue abaixo um vídeo que sugere uma atividade perfeitamente realizável em sala de aula (na verdade seria uma aula de campo): calcular a altura de uma torre. E não se trata de uma torre qualquer! É um dos mais conhecidos pontos turísticos do Ceará: o Arco de Nossa Senhora de Fátima em  Sobral. Escolher um local que chame a atenção dos alunos por algum motivo é bem interessante.

 

A técnica utilizada é simples. A partir de um triângulo retângulo imaginário no qual é possível calcular um dos catetos (base) e o ângulo formado entre este cateto e a hipotenusa, usa-se a relação trigonomérica tangente para se calcular o outro cateto (altura da torre).

Este vídeo foi uma produção dos professores Claudimar de Sousa e Nicomedes Pontes como parte da avaliação para o curso de Especialização em Ensino da Matemática da UVA (do qual ambos são alunos) em janeiro de 2011. Agradecemos aos professores que gentilmente permitiram a exibição deste vídeo no TrigonoBlog.

Radianos × Graus

Uma frase bem comum entre os professores que lecionam trigonometria é a seguinte: "Fazendo π igual a 180, temos...". Parem tudo, por favor! Essa afirmação é tão falsa quanto dizer "Fazendo 1 igual a 1000, temos..."  E o pior: o aluno, a partir desse momento, fica a se perguntar: "Agora uso π igual a 3,14 ou 180?"

Essa questão entre π e 180, se enraizou entre os professores tal qual a musiquinha "multiplicando os meios pelos extremos" (não se multiplica meios pelos extremos, mas sim o produto dos meios é igual ao produto dos extremos). Vamos arrancar esse mal pela raiz agora.

O número π, qualquer que seja o contexto, será sempre o mesmo: a razão entre o comprimento e o diâmetro de uma circunferência, ou mais popularmente arredondado para 3,14. Assim como medimos distâncias em metros, kilômetros, léguas, centímetros e muitas outras unidades de medidas, os ângulos também possuem diferentes unidades de medidas. As mais conhecidas são radianos e graus.

Um ângulo de 1 radiano corresponde ao ângulo central de um arco de circunferência de comprimento igual ao raio R.

Já o ângulo de 1 grau, corresponde a uma das 360 partes de um circulo fatiado em pedaços iguais. Levando em conta que uma semi circunferência tem um ângulo central de 180 graus (metade das 360 fatias), qual a medida correspondente na outra unidade de medida, radianos? Vejamos.

Se C é o comprimento de uma circunferência de raio R, então o comprimento da semi circunferência é C/2. Uma vez que

temos que

Portanto, se para um comprimento 1.R temos um ângulo central de 1 radiano, então para um comprimento π.R temos um comprimento de π radianos. Conclusão:

Assim como 1 Km = 1000m.

Olá

Olá colegas professores e estudantes.

Este blog tem como objetivo ser um ponto de encontro para todos aqueles que gostam e/ou precisam estudar trigonometria. Disponibilizaremos material didático, vídeos, entrevistas e várias outras coisas sobre esse assunto tão popular, porém desconhecido em nossa região.

A idéia do blog surgiu depois de uma disciplina ministrada no curso de Especialização em Ensino de Matemática da Universidade Estadual Vale do Acaraú em janeiro de 2011. A coordenadora do LIE (Laboratório de Informática do Colégio São José) Cláudia Fontenele e o professor da disciplina, Márcio Nascimento (Professor do Curso de Matemática da UVA) concordaram que a experiência vivida na disciplina não poderia ficar apenas ali, mas de alguma forma poderia continuar. A maneira encontrada foi a construção desse espaço permanente para troca de idéias, novas e/ou boas metodologias e o que mais possa ser benéfico para a difusão do assunto do qual é tão carente nossa região.

Sejam todos bem vindos e que todos nós possamos trazer e compartilhar formas que ajudem no ensino da trigonometria.

Cláudia Fontenele
Márcio Nascimento