Materiais utilizados na Trigonometria

Na matemática existem conteúdos considerados fáceis, médios, difíceis e extremamente difíceis. Para muitos, a trigonometria é um assunto muito complicado, considerada por alguns um “bicho de sete cabeças”, para tentar facilitar o ensino da trigonometria, foram criadas algumas soluções para tornar as aulas de trigonometria mais práticas e dinâmicas.

Esses tipos de materiais são de grande suporte para os professores, e o intuito desse artigo é ajudar aos futuros professores de Matemática, a desde cedo procurar inovações na hora de lecionar a Trigonometria, para não tornar as aulas chatas, procurar chamar a atenção do aluno para o ensino da matemática, que hoje em dia é tão temida e pouco valorizada.

Segue abaixo um exemplo desses materiais usados na Trigonometria:

Teodolito

O Teodolito é um material de medição de ângulos, ele serve como um suporte na topografia, agricultura, entre outros, tem também uma grande importância e serventia na trigonometria, ele é um auxilio na hora de descobrir alturas de locais muito altos, como de torres, caixas d’águas, prédios, e outros.

O teodolito mais usado é o TEODOLITO ARTESANAL, pois além de prático, é fácil de fazer.

Vamos criar um teodolito.

Os materiais necessários são:

Um transferidor de 180º

Um cano, ou, canudo para mirar no ponto de medida

Um prumo( material usado por pedreiros) que é um cordão com um peso em uma de suas pontas.

Como se faz o teodolito

É muito simples, amarre o cano (canudo) no transferidor, logo depois, amarre o prumo  ao transferidor com o cano. A imagem abaixo mostra mais ou menos como se deve fazer:

Como utilizar o teodolito,

Vejamos o exemplo a seguir:

A trigonometria pode ser usada na resolução de problemas do cotidiano, digamos que o professor pede para seu aluno descobrir a altura de uma casa, para descobrir essa altura o teodolito terá uma grande importância, vejamos:

Para usar o teodolito devemos colocá-lo na posição zero grau (0º) e depois girar na posição anti-horária até que se possa observar o topo da casa, então marcamos o ângulo indicado.

Veja a ilustração a seguir:

Usando o conhecimento sobre trigonometria para medir a altura da casa, observamos algumas coisas, veja que temos o ângulo de 40° marcado pelo teodolito, temos o lado adjacente ao ângulo que é 25m, e não temos o lado oposto ao ângulo no caso a altura da casa, logo se percebe que será usada a relação trigonométrica da tangente que é:

Fazendo as substituições temos:

Tg40º=X/25

Usando a calculadora cientifica tg40º≅0,84

Substituindo:

0,84=x/25

X=0,84*25

X=21

Como o teodolito estava numa altura de 80 cm, para obtermos a altura certa da casa, somemos o valor de X com os 80 cm.

Altura da casa=21+0,80

Altura da casa=21,80 metros

A altura da casa é aproximadamente 21,80 metros.

Comentário

Espero com esse artigo espero ter ajudado aos futuros professores, mostrar que podemos sim inovar e oferecer aos nossos alunos aulas mais dinâmicas, mostrar que a matemática não é esse “bicho papão”, e sim que ela tem uma grande importância no nosso dia a dia, e que podemos tirar coisas proveitosas dela (Matemática).

No cérebro do Matemático, uma equação tem a Beleza da Arte.

DEMONSTRAÇÃO DA RELAÇÃO TRIGONOMÉTRICA FUNDAMENTAL

Considere o círculo trigonométrico abaixo de raio unitário:

 Podemos destacar o triângulo retângulo ODC. Aplicando o Teorema de Pitágoras, obtemos:

É ainda podemos ver as seguintes relações 

Fazendo as substituições ma primeira relação teremos o seguinte:

Vejam que esta relação é válida para qualquer ângulo θ.

Mais o que poucos sabem é que essa relação de acordo com a Revista CÁLCULO MATEMÁTICA PARA TODOS, da editora: SEGMENTO é considerado um das mais belas.

A matéria é a seguinte “No cérebro do Matemático, uma Equação tem a beleza da arte”.

Assim como uma obra de arte as formulas matemáticas tem o poder de encantar a mente do ser humano.  

            Primeiro, os pesquisadores pediram a cada membro de um grupo de voluntários que examinasse 60 formulas e que, quando se sentisse pronto, desse uma nota a cada formula, de – 5(horrível) a + 5 (bela). Fazia parte do grupos tanto de leigos quanto a estudantes de matemática e matemáticos. Essa foi a primeira face. Logo que terminou, os pesquisadores preparam um ambiente no qual poderiam fotografar o cérebro de cada voluntários com um escâner por ressonância magnética.

            Duas semanas depois, cada voluntario teve de examinar de novo cada formula, desta vez com o escâner registrando o que acontecia no cérebro. Ao analisar as imagens os cientistas viram que a atividade no cérebro tinha forte correlação com o que os matemáticos classificaram como “a experiência da beleza”.  Quando viam as equações que consideravam bonitas, ativavam a mesma área do cérebro de um sujeito fã da Argentina. Isto que dizer que para nos matemáticos, na matemática tem beleza assim como na arte.

Ou seja Matemática e arte, mas nem todo mundo é artista. 

Fontes: http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/

            Calculo Matemática para todos. 

Antonio Hélio Pereira de Farias

Trigonometria na Cobrança de Pênalti

A matemática está presente em boa parte da nossa vida é só você reparar. E se você reparar bem poderá vê-la nos momentos e lugares mais inusitados. Como no sofrimento do jogo do Brasil na Copa do mundo, no jogo contra o Chile, que foi para a cobrança de pênaltis. A última cobrança do Chile em relação ao goleiro Júlio César e a trave tiveram uma angulação e esse pênalti parou na trave. Que angulação foi essa? E pra que a bola pudesse ter entrado que angulação precisaria?

A trave tem um comprimento de 7,32m,então onde o goleiro fica que é o centro até uma das trave mede 3,66m e a marca do pênalti até o gol tem uma distância de 11m, então vamos encontrar a distância do jogador Jara até a trave direita e depois usaremos Lei dos Senos para saber o ângulo do Vértice B como mostra a figura 1.

Vamos usar teorema de Pitágoras pra descobrir o valor de x.

Sabendo que o ângulo do vértice M é de 90° vamos descobrir o ângulo do vértice B usando lei dos senos.

   

Com essa angulação a bola do jogador Jara do Chile bateu na trave. Vamos ver agora que angulação precisaria para a bola ter entrado e continuar o sofrimento de todos os Brasileiros. Para que a bola entre vamos “afastar” ela para a esquerda. Então a distância do centro do gol até a bola vai diminuir. A circunferência da bola mede 70 cm,e a metade (que é o que precisamos) mede 35cm. Diminuindo da distância que tínhamos de 3,66m do centro do gol até a trave (onde a bola bateu) temos agora uma distância de 3,31m. Como mostra figura 2.

Fazendo um novo cálculo para encontrar a nova hipotenusa e depois o ângulo do vértice B para que a bola fosse gol, Temos:

Usando Lei dos Senos temos:

Com essa angulação a bola do Jara teria entrado e os Brasileiros continuariam com o seu sofrimento. 

Viu galera? Até nos nossos sofrimentos existe 'Trigonometria' hehe.

A Trigonometria na construção do Telhado

A Matemática apesar de trabalhar bastante com abstrações, possui diversas aplicações que estão presentes em nosso dia-a-dia. Um dos campos da Matemática a trigonometria, possui aplicação também em diversas áreas. Uma das áreas escolhidas para o esta pesquisa foi à construção civil, presente em nosso cotidiano, como o assunto é amplo, iremos nos deter apenas na construção de telhados, útil para a proteção e cobertura de edificações.

A construção do telhado requer bastante precisão, por ser uma das partes mais importante de uma casa. Para evitar goteiras e até um desabamento da estrutura, são necessários alguns cálculos que envolvem a trigonometria. Quanto menor for o nível de declividade do telhado, o peso das telhas contribuirá ainda mais para que o telhado fique estável. Partindo desta afirmação, já podemos ver que há uma relação entre o nível de declividade e o peso das telhas e claro do comprimento das tesouras, linhas etc., relações nos lembram seno, cosseno e tangente.

O objetivo deste trabalho é mostrar que com a ajuda de cálculos trigonométricos é possível saber o a quantidade de madeira e o custo necessário para um telhado de casas residenciais.

Vejamos como calcular a inclinação de um telhado, lembrando que o ângulo de inclinação deve variar de acordo com o modelo de telha escolhido, a largura e o comprimento da casa iram influenciar bastante na arquitetura das tesouras. O modelo que utilizaremos é para casas de até 18 metros de vão e com largura de 10 a 18 metros.

Dados: H= altura da tesoura, L= largura da casa, a= L/2, α= ângulo de inclinação; faremos também i = inclinação do telhado (em porcentagem).

Altura              Base i                       1 H                     a

 

Fazendo uma regra de três simples:

H.1 = i.a          =>        H = i.a

Agora faremos um esquema para saber o ângulo de inclinação:

tg α = H/a        =>        tg α = ia/a        => tg α = i

α = arc tg (i)

Agora vamos encontrar a fórmula do banzo ou empena (B)

B = a√1 + i²

Agora vamos calcular o comprimento das verticais (v1 e v2) das diagonais (d1 e d2) e da largura das guias. Na figura utilizaremos metade da tesoura por isso no decorrer do calculo multiplicaremos por dois.

Faremos uma série de cálculos simples até encontrar fórmulas para os comprimentos, não detalharemos aqui, pois os cálculos são simples, mas um pouco longos.

Enfim vamos calcular a metragem total (M) da madeira necessária para a construção deste tipo de tesoura. Somaremos a altura com a base, o banzo, as verticais e diagonais encontradas, lembrando que trabalhamos apenas com metade da tesoura, por isso irão multiplicar por dois.

M = H + 2(a + B + v₁ + v₂ + d₁ + d₂)

Lembrando que:

i = inclinação (tangente de α); a = L/2; l = largura da guias; P1 = a/3; tg α = i;

Tudo pronto, agora é basta multiplicar a metragem (M) pelo preço do metro de um guia (R), assim obtemos o custo da madeira de uma tesoura (C).

C = M.R

Cúpulas:

Além dos telhados comuns de residências, há também uma modelagem de telhado em forma de semi-esfera, cuia, semi-esfera achatada, chamada de cúpula, muito usada em edificações religiosas como Basílicas, Catedrais, Mesquitas e em observatórios astronômicos. Este tipo de construção de telhado é bastante complexo e requer um bom conhecimento matemático. No Brasil temos diversas construções com este formato, dentre as mais conhecidas estão a Basílica de Nossa Senhora Aparecida em São Paulo e o novo Museu do Eclipse em Sobral-CE. Não entraremos em detalhes, pois o assunto é bem extenso, mais fica a dica para quem desejar matar a curiosidade, imaginem só quanta matemática envolvida nesta construção.

Comentário:

Podemos perceber que os cálculos são bem práticos. Mas como já foi dito anteriormente este calculo deve variar de acordo com o peso da telha e/ou o tipo de telha, comprimento e largura da residência, tipo de tesoura, etc.. Para construções de galpões, prédios, templos e outros tipos de edificações, o calculo deve variar bastante de acordo com o modelo do edifício. O calculo que fizemos é apenas para uma tesoura, deve ser levado em conta também a espessura da madeira e outros detalhes que não especificamos, pois o nosso objetivo era apenas mostrar que a matemática envolvida neste assunto.

Referencias:

http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/modelagem/Modelagem_Tesouras_Web/modelagem_tesouras.htm; Acessado em 30/05/2014.

http://professorandrios.blogspot.com.br/2011/11/telhas-telhados-e-trigonometria.html; Acessado em 30/05/2014

Trigonometria na Música

Trigonometria na Música

 Ao falarmos de trigonometria, associamos logo a seno, cosseno e tangente, e não estamos enganados, pois a trigonometria é uma área da matemática que prova a propriedade dos triângulos. Ela é usada em sistemas de satélites e astronomia, aviação, engenharia, levantamento topográfico, geografia e muitas outras áreas. Sendo assim podemos definir a trigonometria como o ramo da matemática que lida com triângulos, círculos, ondas e oscilações.

Sei que muitos devem estar estranhando o título dessa publicação, mas ela tem o propósito de mostrar o quanto a trigonometria é importante no desenvolvimento dos sons que ouvimos a todo instante e da música por meio de ondas sonoras. A música pode ser transformada em senóides (também chamadas de onda seno, onda senoidal, sinusoide ou onda sinusoidal) que são formas de onda cujo gráfico é idêntico ao da função seno generalizada. A imagem desta onda ocorre naturalmente na natureza, como podemos observar nas ondas do mar, do som e da luz. Uma onda cosseno também é considerada sinusoidal, visto que ela possui o mesmo formato, porém está defasada com relação à onda seno no eixo horizontal.

Vejamos nas imagens abaixo os gráficos do seno e o das ondas senoidais:   

Gráfico da Função Seno, em função do ângulo em radianos

Gráfico de uma onda senoidal

O ouvido humano pode reconhecer ondas seno simples, pois elas soam "limpas" e "claras" para nós, alguns sons que se assemelham a uma onda seno são o som do diapasão (Instrumento metálico em forma de forquilha, que serve para afinar instrumentos e vozes por meio de vibração) e a vibração de um vidro de cristal ao se passar um dedo molhado sobre seu gargalo.

Para o ouvido humano, um som que é constituído por mais de uma onda seno terá uma aparência "barulhenta" ou possuirá harmônicas detectáveis.

Diapasão 

A música pode ser transformada em senóides e cada nota é determinada pelo tamanho de sua onda senoidal — ou seja, é determinado por sua frequência. Notas com ondas mais amplas são mais graves e têm menos ciclos por segundo, enquanto que notas que têm ondas senoidais estreitas são mais agudas e possuem mais ciclos por segundo. Essas ondas estão em constante evolução e a evolução da amplitude dessas ondas ao longo do tempo é diferente e define uma forma de onda diferente, ou seja, as ondas senoides é que definirão os sons. Esta característica das ondas é importante principalmente para a determinação do timbre de um som ou para aplicações de modulação.

Para podermos entender um pouco mais vejamos o que é modulação:

Modulação é o processo de variação de altura (amplitude), de intensidade, frequência, do comprimento e/ou da fase de onda numa onda de transporte, que deforma uma das características de um sinal portador (amplitude, fase ou frequência) que varia proporcionalmente ao sinal modulador. As modulações, atualmente acontecem com frequência em todos os estilos e gêneros musicais, da música erudita até as músicas populares.

A trigonometria é capaz de estudar a evolução, intensidade e frequência das ondas, sem ela seria mais difícil harmonizar os sons, pois é ela que nos faz identificar qual tom será necessário, por exemplo, se ela será sequência de dó ou de mi, e assim fazer as modificações necessárias. Sem isso não conheceríamos as músicas da forma que conhecemos atualmente é por isso que a música até o século XV era considerada uma ciência Matemática.

Madalena Ferreira

DICA DO DIA( Aprenda a calcular quanto mede em polegadas o seu monitor ou tv)

Hoje será demonstrado, nesse texto, 2 métodos de você resolver essa dúvida que a muitos assolam, a dúvida de quanto polégadas tem seu monitor ou tv!

Método 1:

Este método é o mais fácil.Itens necessários:

-fita métrica,

-calculadora.

Estique a fita de um dos "vértices" até o"vertice oposto:

A._____________.B

 |             |

 |             |

C|_____________|D

De (A) até (D),estique de A até D a fitamétrica, veja qual o resultado e divida ele por 2,54, pois a unidade de polegada equivale a 2,54 cm. Assim é obtido.

Método 2:

Caso queira o tamanho da tela e não tenha calculadora ou fita métrica, pode ser que se identifique.Itens necessários(básico em um kit de réguas encontrada fácil em papelarias):

-1 caderno(ou uma folha);

-Uma régua de 30 centímetros;

-1 transferidor(de 180º mesmo).

.:Passo 1:

  Medir a a largura(segmento BD da figura anteirormente citada), para isso coloque a régua na vertical e associe a o numero da largura à régua(medição normal)

.:Passo 2:

  Medir o ângulo DÂB(Â). Primeiramente, posicione a régua como se fosse parte do segmento AD, porém semtirar o canto da régua do ponto A. Coloque o transferidor na vertical, com a borda redonda para baixo.Agora só medir o ângulo DÂB.

.:Passo3: 

  Com o segmento BD definido podemos calcular o angulo D do triângulo ABD pela seguinte formula:

  180º = Â + 90º + D

Como, D = 90 º - Â, então usaremos outra formula para calcula AD(h):

cos(D) = BD/ h

h = BD /cos(D)

E com o ângulo D calcula a tangente e e terá o outro lado(CD),desta forma:

tg(D) = AB/ BD;

Achado h, divida o por 2,54, a unidade de polegadas e está feito.

//* O caderno é usado para caso de ângulos notáveis, mas se não for ângulos notáveis é necessário uma calculadora científiífica.

TRIGONOMETRIA NO AR

A trigonometria se trata de um conhecimento de inúmeras aplicações,e apesar de ser pouca apreciada e difundida hoje em dia ela nos propõe a facilidade de calcularmos medidas inacessíveis quando falamos por exemplo,tirar altura de um prédio,uma torre,etc. Embora não nos der resultados exatos mas sim aproximados,nos dá a proximidade da distância calculada,pois dificultaria muito mais se fosse medida de uma forma mais precisa e exata.

Em nosso dia a dia somos deparados com muitas paisagens e objetos que envolvem a trigonometria em si.Abaixo demonstro um exemplo onde tive a observação e usando a trigonometria na figura projetada formada por um triangulo retângulo achar o resultado procurado.Observe:

EX: Um certo menino estava empinando sua pipa. A linha que ele segurava estava esticada e tinha 50 metros. Sabendo que o ângulo formado pela linha com o solo é de 30°, qual a altura em que se encontrava a pipa?

Resolução: Usando a relação trigonométrica do seno temos:

A pipa estaria à 25 metros do chão.

Agora você imagina como eu acharia essa distância se não fosse a trigonometria?Pratique-a.

Obs: Os números fornecidos são só como exemplos.