Unidades de Medida dos ângulos

Há alguns dias, falamos que as duas unidades de medidas de ângulo mais "conhecidas" eram o grau e o radiano.

O grau (do latim gradus, que significa percorrer uma distância em trechos) surge com os babilônios cerca de 4000 anos antes de Cristo. Em partes pela base utilizada por eles (base 60 em vez da base 10 utilizada hoje) e também por influência do movimento solar, pois naquela época acreditava-se que num período de 360 dias o sol realizava um movimento completo no zodíaco (as constelações nesse caminho percorrido pelo sol), isto é, um ano tinha 360 dias. Assim, tomaram a circunferência e a dividiram em 360 trechos, ou melhor, 360 graus.

Embora não sabendo bem se eles consideravam a Terra ou o Sol como centro do universo (ou até mesmo se eles estavam preocupados com isso), provavelmente o fato de o Sol percorrer o zodíaco e voltar para o início, dava aos babilônios uma "sensação" de algo cíclico.

No caso da unidade grau, ainda usamos suas subdivisões minuto (partes minutae primae, 1/60 de 1 grau) e segundo (partes minutae secundae, 1/60 de um segundo), também influenciadas pela base 60.

Já o radiano (que um dia já foi conhecido como π-medida), o ângulo determinado pelo arco de comprimento igual ao raio da circunferência, só começou a ser usado como unidade por volta de 1870. Tudo indica que foi "criado" de forma independente pelo matemático Thomas Muir e o físico James T. Thomson, sendo que o termo radiano apareceu pela primeira vez num trabalho de Thomson em 1873.

E as outras? Bem, vamos falar sobre o grado e o ponto.

O grado (do francês, grade) foi proposto junto com o sistema métrico, mas hoje, a unidade de ângulos do SI (Sistema Internacional de Unidades de Medida) é o radiano. A definição de grado está ligada a definição original do metro, de 1889:

"Um metro é o comprimento equivalente a décima milionésima parte de um quarto do meridiano terrestre"

Isto é, se o perímetro de um meridiano (e portanto de todos, uma vez que os meridianos são os círculos máximos da esfera que se cruzam nos pólos) é L, então

A partir daí, podemos definir decímetros, centímetros, decâmetros, hectômetros e quilômetros. E a distância de 100km percorrida sobre um meridiano determina um ângulo central de 1 grado, cuja notação é 1 gon (ou 1 grad ou ainda 1^g). Note que, com esta definição, 1 gon = 0,9°. Existem até transferidores com esta medida. Clique aqui.

A unidade foi usada pelo exército brasileiro no ajuste de mira de canhões. Isso por quê antes da Segunda Guerra Mundial, o exército brasileiro era treinado pelos franceses. Na topografia, até hoje a unidade é usada.

Já o ponto é uma unidade usada na construção de cartas náuticas, que são uma espécie de mapa para auxiliar na navegação marítima. No Tratado de Hidrografia do Padre Francisco da Costa, encontra-se uma descrição de como se construir uma carta náutica, sendo que em dado momento, ele fala de

"marcar uma rosa-dos-ventos central e dividir a periferia desse círculo em 32 partes iguais". 

Lembrando que a rosa dos ventos nos dá quatro direções (Norte, Sul, Leste, Oeste), a descrição do Padre Francisco equivale a inserir mais direções na Rosa-dos-ventos,onde cada nova direção determina um "ponto" na circunferência circunscrita à rosa-dos-ventos, isto é, 

1 ponto = 11,5°

O ponto ainda pode ser subdividido em meio ponto e 1/4 de ponto, como mostra a figura abaixo.

Referências:
http://aulaparticularonlinematematica.blogspot.com/2008/12/notas-histricas-sobre-o-grau-e-o.html
http://pt.wikipedia.org/wiki/Grado_(ângulo)
http://www.forumdaconstrucao.com.br/conteudo.php?a=0&Cod=215
http://www2.uefs.br/geotec/topografia/apostilas/topografia(2).htm
http://www.mar.mil.br/dhn/bhmn/download/cap11.pdf 
MARTINS, A.V. Náutica e cartografia náutica na origem da ciẽncia moderna. Revista Navigator, n° 2, 2005.

Radianos × Graus

Uma frase bem comum entre os professores que lecionam trigonometria é a seguinte: "Fazendo π igual a 180, temos...". Parem tudo, por favor! Essa afirmação é tão falsa quanto dizer "Fazendo 1 igual a 1000, temos..."  E o pior: o aluno, a partir desse momento, fica a se perguntar: "Agora uso π igual a 3,14 ou 180?"

Essa questão entre π e 180, se enraizou entre os professores tal qual a musiquinha "multiplicando os meios pelos extremos" (não se multiplica meios pelos extremos, mas sim o produto dos meios é igual ao produto dos extremos). Vamos arrancar esse mal pela raiz agora.

O número π, qualquer que seja o contexto, será sempre o mesmo: a razão entre o comprimento e o diâmetro de uma circunferência, ou mais popularmente arredondado para 3,14. Assim como medimos distâncias em metros, kilômetros, léguas, centímetros e muitas outras unidades de medidas, os ângulos também possuem diferentes unidades de medidas. As mais conhecidas são radianos e graus.

Um ângulo de 1 radiano corresponde ao ângulo central de um arco de circunferência de comprimento igual ao raio R.

Já o ângulo de 1 grau, corresponde a uma das 360 partes de um circulo fatiado em pedaços iguais. Levando em conta que uma semi circunferência tem um ângulo central de 180 graus (metade das 360 fatias), qual a medida correspondente na outra unidade de medida, radianos? Vejamos.

Se C é o comprimento de uma circunferência de raio R, então o comprimento da semi circunferência é C/2. Uma vez que

temos que

Portanto, se para um comprimento 1.R temos um ângulo central de 1 radiano, então para um comprimento π.R temos um comprimento de π radianos. Conclusão:

Assim como 1 Km = 1000m.